Побудова математичної моделі оптимального управління забезпечує м`яку посадку при

Вихідні дані до курсового проекту

Розглядається останній етап посадки космічного апарату (КА) на планету. При побудові математичної моделі припустимо:

1. посадка здійснюється по нормалі до поверхні планети, планета обертається і в районі посадки плоска;

2. на КА діють сила тяжіння G = mg, причому g = const і сила тяги , Де с = const, а β - секундний витрата маси m, ;

3. аеродинамічні сили відсутні.

Рівняння руху КА можуть бути представлені у вигляді:

; ; , Де h - поточна висота;

або в нормальній формі:

; ; ; .

Тут введено позначення:

; ; ; ; .

Граничні умови мають вигляд:

; ; ; ; ,

причому Т заздалегідь невідомо. Потрібно знайти програму управління u * (t), що забезпечує м'яку посадку при мінімальному витраті палива, тобто .

Вихідні дані для розрахунків

Прискорення сили тяжіння для планети g = 1,62 м / с ^2, величина с = 3000 м / с.

Завдання до курсового проекту

1. Скласти гамільтоніан Н, скориставшись необхідними умовами оптимальності для задачі Майєра.

2. З умови максимізації Н по u знайти оптимальне управління.

3. Отримати канонічну систему рівнянь і в результаті прийти до крайової задачі, для якої в момент t = 0 задані компоненти x _0, x _1, x _2, а в момент t = T компоненти x _1, x _2, ψ _0.

4. З умови Н (Т) = 0 отримати співвідношення для визначення невідомого часу Т.

5. Провести аналіз необхідних умов оптимальності, почавши з дослідження можливості існування особливого виродженого управління, тобто випадку, коли функція перемикання

.

Довести, що К _u не може звернутися в нуль на кінцевому інтервалі часу і, отже, особливого управління у цій завданню не існує.

Показати, що К _u є монотонна функція t.

Розглянути чотири можливих випадки:

а) K _u> 0 для всіх ;

б) K _u <0 для всіх ;

в) K _u> 0 для , K _u <0 для ;

г) K _u <0 для , K _u> 0 для .

Показати, в яких випадках (з фізичних міркувань) м'яка посадка неможлива, в якому з реалізованих випадків витрата палива менше.

Отримати програму оптимального управління, коли до деякого моменту t _{1 Управління} відсутній u *= 0, а починаючи з t = t _1, управління одно своєму максимальному значенню u *= u _max, що відповідає мінімальній витраті палива.

6. Вирішити канонічну систему рівнянь, розглядаючи її для випадків, коли і керування u *= 0, і коли , U *= u _max.

Прирівнюючи х ₁ (Т) і х ₂ (Т) нулю, отримати два рівняння щодо t ₁ і Т. Таким чином, крайову задачу звести до системи, що складається з двох нелінійних рівнянь відносно двох невідомих t _1, Т. Скласти програму розрахунку. Отримавши рішення цієї системи, вирішити повністю вихідну задачу програмування оптимального управління м'якою посадкою КА на планету. На закінчення слід побудувати фазову траєкторію спуску КА і визначити кінцеву масу m (Т).

Виконання завдання курсового проекту

Нам відомо, що

, Де с - сила тяги двигуна,

m - маса космічного апарату;

- Прискорення апарату.

Тобто, маса · прискорення = сумі сил, що діють на апарат.

β - секундний витрата маси m: .

Витрата маси забезпечує силу тяги двигуна (P = c · β), її можна змінювати в межах .

можна знайти з вихідних даних - висловивши зі ставлення сили тяги до початкової масі P _max / m (0):

;

;

кг / с.

Наш критерій оптимізації . Введемо прийняті у вихідних даних позначення:

; .

Початковий момент часу t = 0, кінцевий момент часу - момент посадки КА (момент зіткнення з планетою) t = T.

;

Тоді критерій оптимізації:

;

. (Тут .)

Тепер необхідно написати рівняння стану системи. Для цього потрібно ввести змінні стану та вхідні змінну.

Порядок диференціального рівняння n = 3, звідси 3 рівняння стану:

;

;

.

Виберемо управління:

;

Підставляємо рівняння стану, отримаємо:

так як і , Звідси

;

;

.

Критерій оптимізації:

.

Введемо змінні х ₀ і х _{n +1} (тобто х _4).

, Де t - поточний час.

.

Тоді основні рівняння стану:

Складемо гамільтоніан Н:

;

.

Оптимальному управлінню відповідає максимум функції Гамільтона в заданій області можливих управлінь. Причому цей максимум дорівнює нулю.

Тобто потрібно домогтися максимуму цієї функції, змінюючи u _1. Це і буде оптимальне управління.

Для функцій ψ _i теж отримаємо пов'язані рівняння, які мають вигляд :

- Так як функція не залежить від х _0,

отже похідна дорівнює нулю;

- Аналогічно, оскільки функція не залежить від х _1.

Отже, потрібно знайти максимум гамільтоніана:

Функція перемикання:

Використовуючи для обчислень Mathcad, отримаємо оптимальне управління:

Таким чином виявилося, що оптимальне управління повинне здійснюватися на граничних ресурсах. Тобто або двигун повинен бути зовсім виключений (при K _u <0), або включений на максимальну потужність (при K _u> 0).

Подивимося, як змінюється функція перемикання До _u у часі:

;

Для визначення ψ ₁ і ψ ₂ вирішуємо пов'язані рівняння:

, Отже, ψ ₁ = const, позначимо ψ ₁ = з _1.

, Отже, , Де c ₂ = const.

Отже,

Маса КА завжди позитивна, а з = 3000 = const - величина постійна, тому похідна має завжди постійна (один і той же) знак. Тобто величина K _u або весь час монотонно зростає, або весь час монотонно убуває. А це означає, що вона може пройти через нуль тільки один раз.

Розглянемо чотири можливих випадки:

а) K _u> 0 для всіх ;

б) K _u <0 для всіх ;

в) K _u> 0 для , K _u <0 для ;

г) K _u <0 для , K _u> 0 для .

У випадках б) (коли двигун КА вимкнений на всьому протязі посадки) і в) (коли двигун включений на максимальну потужність до якогось моменту часу t = t *, а потім політ відбувається з вимкненим двигуном до самої посадки) - говорити про м'яку посадці не доводиться. Ці варіанти означають падіння КА на планету. Тому оптимальними (і взагалі допустимими) їх вважати не можна.

Отже, залишаються два варіанти реалізуються - а) і г). І оптимальне управління передбачає або весь час включений на максимальну потужність двигун, або політ з вимкненим двигуном до якогось моменту t = t *, а потім політ з двигуном, включеним на максимальну потужність до моменту посадки. Природно, що в другому випадку (г) витрата палива менше, тому що частина шляху проробляється з вимкненим двигуном.

Тому оптимальним управлінням в даній ситуації можна вважати політ з виключеним двигуном, потім відбувається включення двигуна і політ триває з двигуном, включеним на максимальну потужність.

Отже, оптимальному управлінню відповідає

На першій ділянці польоту, на якому u ₁ = 0:

; ; ;

;

;

.

Розглянемо другий ділянку польоту u ₁ = 7,083:

Задамося умовою, що при t = t * (у момент включення двигуна):

;

;

.

На відрізку польоту з увімкненим двигуном:

;

так як , Запишемо:

.

Тепер, знаючи х _3, можна висловити х _2:

.

Тепер, знаючи х ₂ виразимо х _1:

;

На відрізку шляху h (t):

У момент посадки t = T висота і швидкість повинні бути рівні нулю, тобто і . На підставі цього твердження прирівняємо х ₁ (T) і х ₂ (Т) нулю і отримаємо таким чином два рівняння щодо t * і T. Таким чином, крайова задача у нас звелася до системи, що складається з двох нелінійних рівнянь відносно двох невідомих t * і Т:

З другого рівняння системи висловимо момент часу, на якому включається двигун:

;

Підставимо це вираження в перше рівняння системи, отримаємо рівняння для знаходження часу польоту T (воно ж час посадки):

Для розрахунку часу польоту Т скористаємося програмою Mathcad. На наступному листі наведені ці обчислення ^1:

Тепер, знаючи Т і t *, можна визначити кінцеву масу космічного апарату m (T):

кг.

Можна розрахувати висоту h (t *), на якій КА повинен включити двигуни:

м.

Таким чином, включення двигунів відбувається на 3317-ій секунді польоту на висоті близько 67 км. від поверхні планети. Той же результат ми спостерігаємо і на графіку.